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【超伝導量子回路】LC並列共振器の量子化

量子情報

超伝導回路の基本的な構成要素であるLC並列共振器を量子的に扱うためにこの計算が必要になります。ここからの説明は解析力学と量子力学, 簡単な電気回路の知識を前提として書いています。
まず、図のようなLC回路を考えることにします。

LC並列回路

回路に流れる電流の大きさをI、電圧をV、キャパシタに蓄えられている電荷をQ、コイルを貫く磁束を\Phiとし、それぞれの素子について以下の式が成り立ちます。

\begin{align} Q &= CV \tag{1} \\ V &= \frac{d\Phi}{dt} \tag{2} \\ \Phi &= LI \tag{3} \\ \frac{dQ}{dt} &= -I \tag{4} \end{align}

(1)、(2)より、

\begin{align} \frac{d\Phi}{dt} &= \frac{Q}{C} \tag{5} \end{align}

が得られ、(5)をさらに時間微分すれば、(3)、(4)より、\Phiに関する微分方程式が得られます。

\begin{align} C\frac{d^2 \Phi}{dt^2} &= -I \nonumber \\ C\frac{d^2 \Phi}{dt^2} &= -\frac{1}{L}\Phi \tag{6} \end{align}

ここで、(2)で出てきた磁束\Phiは無限の過去で\Phi (-\infty) = 0として、

\begin{align} \Phi &= \int_{-\infty}^t V dt \tag{7} \end{align}

を満たす物理量です。
また、共振周波数\omega_rを求めておきます。図1のインピーダンスZは、虚数単位、誘導性リアクタンス、容量性リアクタンスをそれぞれj, Z_L=j\omega L, Z_C=1/j\omega Cとして、

\begin{align} Z &= \frac{Z_L Z_C}{Z_L + Z_C} \nonumber \\ &= \frac{j\omega L \cdot \frac{1}{j\omega C}}{j\omega L + \frac{1}{j\omega C}} \nonumber \\ &= \frac{\frac{L}{C}}{j(\omega L - \frac{1}{\omega C})} \nonumber \\ &= -j\frac{\omega L}{\omega^2 LC - 1} \tag{8} \end{align}

LC並列回路の共振条件はインピーダンスZが最大、つまり、Zの虚部が無限大になる場合なので、以下の方程式を\omega_rについて解けば、

\begin{align} {\omega^2}_r LC - 1 &= 0 \nonumber \\ \omega_r &= 1/\sqrt{LC} \tag{9} \end{align}

共振角周波数\omega_rが得られます。
次に式(6)を満たすラグランジアン\mathcal{L}を求めます。調和振動子におけるニュートンの運動方程式

\begin{align} m\frac{d^2 x}{dt^2} &= -kx \nonumber \end{align}

と式(6)を比較します。 \Phi \rightarrow x、C \rightarrow m、\frac{1}{L} \rightarrow kだと思えば、\mathcal{L}は、

\begin{align} \mathcal{L} &= \frac{1}{2}C\dot{\Phi}^2 - \frac{1}{2L}\Phi^2 \tag{10} \end{align}

と表すことができます。ここから、\Phiの正準共役変数を求めると、

\begin{align} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\Phi}} &= C\dot{\Phi} \nonumber \\ &= Q \tag{11} \end{align}

となり、ハミルトニアン\mathcal{H}は、

\begin{align} \mathcal{H} &= \frac{Q^2}{2C} + \frac{\Phi^2}{2L} \tag{12} \\ &= \frac{1}{\hbar}\frac{\hbar}{\sqrt{LC}}\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{L}{C}}Q^2 + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}\Phi^2\right) \nonumber \\ &= \hbar \omega_r\left(\frac{1}{2\hbar}\sqrt{\frac{L}{C}}Q^2 + \frac{1}{2\hbar}\sqrt{\frac{C}{L}}\Phi^2\right) \nonumber \\ &= \hbar \omega_r \left\{ \left(\frac{1}{2\hbar}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{L}{C}\right)^{\frac{1}{4}}Q + i\left(\frac{1}{2\hbar}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{C}{L}\right)^{\frac{1}{4}}\Phi \right\} \left\{\left(\frac{1}{2\hbar}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{L}{C}\right)^{\frac{1}{4}}Q - i\left(\frac{1}{2\hbar}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{C}{L}\right)^{\frac{1}{4}}\Phi \right\} \nonumber \\ &= \hbar \omega_r \left\{ \left(\frac{1}{2\hbar}\right)^{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}\left(\frac{L}{C}\right)^{\frac{1}{4}}Q + i\left(\frac{1}{2\hbar}\right)^{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}\left(\frac{C}{L}\right)^{\frac{1}{4}}\Phi \right\} \left\{\left(\frac{1}{2\hbar}\right)^{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}\left(\frac{L}{C}\right)^{\frac{1}{4}}Q - i\left(\frac{1}{2\hbar}\right)^{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}\left(\frac{C}{L}\right)^{\frac{1}{4}}\Phi \right\} \nonumber \\ &= \hbar \omega_r \left\{ \left(\frac{L}{4\hbar^2C}\right)^{\frac{1}{4}}Q + i\left(\frac{C}{4\hbar^2L}\right)^{\frac{1}{4}}\Phi \right\} \left\{\left(\frac{L}{4\hbar^2C}\right)^{\frac{1}{4}}Q - i\left(\frac{C}{4\hbar^2L}\right)^{\frac{1}{4}}\Phi \right\} \tag{13} \end{align}

となります。後に出てくる生成・消滅演算子の導入で必要になるので上のように式変形をしました。
Q \rightarrow \hat{Q}、\Phi \rightarrow \hat{\Phi}として演算子に置き換えると、ハミルトニアンも\mathcal{H} \rightarrow \hat{\mathcal{H}}となり、

\begin{align} \hat{\mathcal{H}} &= \frac{\hat{Q}^2}{2C} + \frac{\hat{\Phi}^2}{2L} \tag{14} \end{align}

で表されます。また、具体的に演算子\hat{Q}、\hat{\Phi}は、

\begin{align} \hat{Q} &= -i\hbar \frac{\partial}{\partial \Phi} \tag{15} \\ \hat{\Phi} &= \Phi \tag{16} \end{align}

となるので、運動量演算子\hat{p}と座標演算子\hat{x}の交換関係と同様に、

\begin{align} \left [ \hat{\Phi}, \hat{Q}\right ] &= i\hbar \tag{17} \end{align}

を満たします。次に生成・消滅演算子\hat{a}^{\dagger}、\hat{a}を定義する.式(13)の{}の部分をそれぞれ、

\begin{align} \hat{a}^{\dagger} &= \left\{\left(\frac{L}{4\hbar^2C}\right)^{\frac{1}{4}}\hat{Q} + i\left(\frac{C}{4\hbar^2L}\right)^{\frac{1}{4}}\hat{\Phi} \right\} \tag{18} \\ \hat{a} &= \left\{ \left(\frac{L}{4\hbar^2C}\right)^{\frac{1}{4}}\hat{Q} - i\left(\frac{C}{4\hbar^2L}\right)^{\frac{1}{4}}\hat{\Phi} \right\} \tag{19} \end{align}

とおいて、\hat{a}^{\dagger}\hat{a}を計算すると、

\begin{align} \hat{a}^{\dagger}\hat{a} &= \left\{\left(\frac{L}{4\hbar^2C}\right)^{\frac{1}{4}}\hat{Q} + i\left(\frac{C}{4\hbar^2L}\right)^{\frac{1}{4}}\hat{\Phi} \right\} \left\{ \left(\frac{L}{4\hbar^2C}\right)^{\frac{1}{4}}\hat{Q} - i\left(\frac{C}{4\hbar^2L}\right)^{\frac{1}{4}}\hat{\Phi} \right\} \nonumber \\ &= \sqrt{\frac{L}{4\hbar^2C}}\hat{Q}^2 + i\left(\frac{L}{4\hbar^2C} \cdot \frac{C}{4\hbar^2L}\right)^{\frac{1}{4}}\hat{\Phi}\hat{Q} - i\left(\frac{C}{4\hbar^2L} \cdot \frac{L}{4\hbar^2C}\right)^{\frac{1}{4}}\hat{Q}\hat{\Phi} + \sqrt{\frac{C}{4\hbar^2L}}\hat{\Phi}^2 \nonumber \\ &= \sqrt{\frac{L}{4\hbar^2C}}\hat{Q}^2 + i\left( \frac{1}{16\hbar^4}\right)^{\frac{1}{4}}\hat{\Phi}\hat{Q} - i\left( \frac{1}{16\hbar^4}\right)^{\frac{1}{4}}\hat{Q}\hat{\Phi} + \sqrt{\frac{C}{4\hbar^2L}}\hat{\Phi}^2 \nonumber \\ &= \sqrt{\frac{L}{4\hbar^2C}}\hat{Q}^2 + \frac{i}{2\hbar} \left(\hat{\Phi}\hat{Q} - \hat{Q}\hat{\Phi}\right) + \sqrt{\frac{C}{4\hbar^2L}}\hat{\Phi}^2 \nonumber \\ &= \sqrt{\frac{L}{4\hbar^2C}}\hat{Q}^2 + \frac{i}{2\hbar} \left [\hat{\Phi}, \hat{Q}\right ] + \sqrt{\frac{C}{4\hbar^2L}}\hat{\Phi}^2 \nonumber \\ &= \sqrt{\frac{L}{4\hbar^2C}}\hat{Q}^2 + \sqrt{\frac{C}{4\hbar^2L}}\hat{\Phi}^2 - \frac{1}{2} \tag{20} \end{align}

となる.両辺に\hbar \omega_rを掛ければ、

\begin{align} \hbar \omega_r \hat{a}^{\dagger}\hat{a} &= \hbar \omega_r \left( \sqrt{\frac{L}{4\hbar^2C}}\hat{Q}^2 + \sqrt{\frac{C}{4\hbar^2L}}\hat{\Phi}^2 - \frac{1}{2}\right) \nonumber \\ &= \frac{\hbar}{\sqrt{LC}}\left( \sqrt{\frac{L}{4\hbar^2C}}\hat{Q}^2 + \sqrt{\frac{C}{4\hbar^2L}}\hat{\Phi}^2 \right) - \frac{1}{2}\hbar \omega_r \nonumber \\ &= \left(\frac{\hat{Q}^2}{2C} + \frac{\hat{\Phi}^2}{2L}\right) - \frac{1}{2}\hbar \omega_r \nonumber \\ &= \hat{\mathcal{H}} - \frac{1}{2}\hbar \omega_r \nonumber \\ \therefore \hat{\mathcal{H}} &= \hbar \omega_r \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \frac{1}{2}\right) \tag{21} \end{align}

よって、LC並列共振回路のハミルトニアンを生成・消滅演算子で式(21)のように表すことができます。
また、式(18), (19)を用いて、\hat{Q}、\hat{\Phi}も\hat{a}^{\dagger}、\hat{a}で以下のように書くことができます。
(18) + (19)より、

\begin{align} \hat{a}^{\dagger} + \hat{a} &= 2 \cdot \left(\frac{L}{4\hbar^2C}\right)^{\frac{1}{4}}\hat{Q} \nonumber \\ \therefore \hat{Q} &= \left(\frac{\hbar^2C}{4L}\right)^{\frac{1}{4}} \left(\hat{a}^{\dagger} + \hat{a}\right) = \left(\sqrt{\frac{\hbar^2}{LC}} \cdot \sqrt{\frac{LC^2}{4L}}\right)^{\frac{1}{2}} \left(\hat{a}^{\dagger} + \hat{a}\right) = \sqrt{\frac{\hbar \omega_r C}{2}}\left(\hat{a}^{\dagger} + \hat{a}\right) \tag{22} \end{align}

(18) - (19)より、

\begin{align} \hat{a}^{\dagger} - \hat{a} &= 2i \cdot \left(\frac{C}{4\hbar^2L}\right)^{\frac{1}{4}}\hat{\Phi} \nonumber \\ \therefore \hat{\Phi} &= \left(\frac{\hbar^2L}{4C}\right)^{\frac{1}{4}} \left(\hat{a}^{\dagger} - \hat{a}\right) = \left(\sqrt{\frac{\hbar^2}{LC}} \cdot \sqrt{\frac{L^2C}{4C}}\right)^{\frac{1}{2}} \left(\hat{a}^{\dagger} - \hat{a}\right) = \sqrt{\frac{\hbar \omega_r L}{2}}\left(\hat{a}^{\dagger} - \hat{a}\right) \tag{23} \end{align}

ここから、\hat{I}、\hat{V}も

\begin{align} \hat{I} &= \hat{\Phi}/L = \sqrt{\frac{\hbar \omega_r}{2L}}\left(\hat{a}^{\dagger} - \hat{a}\right) \tag{24} \\ \hat{V} &= \hat{Q}/C = \sqrt{\frac{\hbar \omega_r}{2C}}\left(\hat{a}^{\dagger} + \hat{a}\right) \tag{25} \end{align}

として表すことができます。以上の計算でLC並列共振器の量子化ができました。